Preuve ontologique de Gödel

La Preuve ontologique de Gödel est une démonstration, dans le dispositif de logique modale, de l'existence de Dieu :

Bien que Gödel ait été croyant, il n'a jamais publié cette preuve car il craignait qu'elle soit interprétée comme l'établissement de l'existence de Dieu au-delà du doute. Au lieu de cela, il ne la voyait que comme une étude logique et une formulation claire des arguments de Leibniz. Il a à plusieurs reprises présenté cette preuve à des amis vers 1970 mais la preuve a été publiée en 1987, neuf années après sa mort.

Démonstration

Écrite

• Définition 1 : x est comparable à Dieu si et uniquement si x ne contient comme propriétés principales que les propriétés qui sont positives.
• Définition 2 : A est une essence de x si et uniquement si pour chaque propriété B, x contient obligatoirement B si et uniquement si A entraîne B.
• Définition 3 : x existe obligatoirement si et uniquement si chaque essence de x est obligatoirement exemplifiée.
• Axiome 1 : Si une propriété est positive, alors sa négation n'est pas positive.
• Axiome 2 : Toute propriété entraînée par - c'est-à-dire impliquée seulement par - une propriété positive est positive.
• Axiome 3 : La propriété d'être comparable à Dieu est positive.
• Axiome 4 : Si une propriété est positive, alors elle est positive obligatoirement.
• Axiome 5 : L'existence indispensable est positive.
• Axiome 6 : Pour toute propriété P, si P est positive, alors d'être obligatoirement P est positive.
• Théorème 1 : Si une propriété est positive, alors elle est consistante, c'est-à-dire exemplifiée envisageablement
• Corollaire 1 : La propriété d'être comparable à Dieu est consistante.
• Théorème 2 : Si quelque chose est comparable à Dieu, alors la propriété d'être comparable à Dieu est une essence de cette chose.
• Théorème 3 : Nécessairement, la propriété d'être comparable à Dieu est exemplifiée. ^[1]

Symbolique

Critique de la démonstration

Cette démonstration mathématique datant de 1970 mais publiée en 1987 provoqua un vif émoi chez les mathématiciens et logiciens, qui n'étaient pas pour tout autant capables d'expliquer l'ensemble des aspects de cette preuve. Il est peut-être même impossible de comprendre une preuve aussi abstraite, qui est par conséquent à prendre avec précaution.

On remarque cependant la similitude avec son équivalent chez Spinoza, signe que cette preuve revient à considérer que tout est Dieu, et que donc Dieu existe. Cependant cette existence n'étant pas discernable du monde, on peut questionner son statut.

Critique des définitions et des axiomes

Traduit depuis Gödel's ontological proof

Il y a plusieurs raisons pour que les axiomes de Gödel puissent ne pas être réalistes, selon ce qui suit :

• Il peut être impossible de satisfaire correctement l'axiome 3, qui suppose qu'une conjonction des propriétés positives est aussi une propriété positive ; pour que la preuve soit recevable, l'axiome doit être pris pour s'appliquer à arbitraire, pas obligatoirement fini, des collections de propriétés. D'ailleurs, quelques propriétés positives peuvent être incompatibles avec d'autres. Par exemple la pitié peut être incompatible avec la justice. Dans ce cas la conjonction serait une propriété impossible et G (x) serait faux de chaque x. Ted Drange a fait cette objection à la concordance d'attribuer l'ensemble des propriétés positives à Dieu - voir cet article pour la liste de Drange de propriétés incompatibles et de quelques contre-arguments. Pour ces raisons, cet axiome a été remplacé dans quelques reworkings de la preuve (Anderson y compris, ci-dessous) par la prétention que G (x) est positif (Pos (G (x) ).

• Jordan Sobel a argumenté que les axiomes de Gödel sont trop forts : ils impliquent que l'ensemble des mondes envisageables sont semblables. Il s'est avéré que ce résultat en considérant la propriété "est tel que X est vrai", où X est n'importe quel véritable rapport modal au sujet du monde. Si g est un objet divin, et X est en fait vrai, alors g doit posséder cette propriété, et donc doit la posséder obligatoirement. Mais alors X est une vérité indispensable. Un argument identique prouve que l'ensemble des faussetés sont des faussetés nécessaires. C. Anthony Anderson a donné un dispositif axiomatique un peu différent qui essaye d'éviter ce problème.

Dans le dispositif d'Anderson, les axiomes 1, 2, et 5 sont ci-dessus inchangés ; cependant les autres axiomes sont remplacés avec :

• Axiome 3' : G (x) est positif.
• Axiome 4' : Si une propriété est positive, sa négation n'est pas positive.

Ces axiomes laissent ouverte la possibilité qu'un objet divin possédera quelques propriétés non positives, à condition que ces propriétés soient contingentes plutôt que nécessaires.

Notons aussi que la définition de être comparable à Dieu (quelque chose qui contient l'ensemble des propriétés vraies) ne définit pas obligatoirement Dieu, mais uniquement un objet que nous appelons ainsi, qui pourrait être nommé univers, tout ou vérité sans modifier la preuve.

D'autre part, Gödel pose comme vérités indémontrables l'axiome 3 et 5, c'est-à-dire sans conditionnelles, contrairement aux axiomes 1, 2, 4 et 6. À partir de ces deux axiomes, s'apparentant alors à des dogmes, découle le reste de la démonstration.

Or, on ne peut écrire ouvertement et sans conditions que "la propriété d'être comparable à dieu est positive" <=>P (G), ni que "l'existence indispensable est positive" <=>P (E). P (G) et P (E) ne peuvent être vraies car la propriété d'être positif (ve) est implicitement soumise à des conditions. En d'autre termes, "n'est pas positif qui veut".

S'il on veut rester logique, il aurait été plus juste d'écrire l'axiome 3 tel que : "La propriété d'être comparable à dieu est positive si elle est consistante c'est-à-dire exemplifiée" (ce qui est vrai), étant alors en accord avec le théorème 1, le corollaire 1 et le théorème 3.

De même, l'axiome 5 devient vrai en s'écrivant tel que "L'existence indispensable est positive si elle est consistante c'est-à-dire exemplifiée" (ce qui est vrai), étant alors aussi en accord avec la définition 3.

Pour résumer, Godël pose, volontairement ou pas, deux fausses vérités auto-proclamées (axiomes 3 et 5), non démontrables, non vérifiables et , qui plus est sans conditions, tels deux dogmes religieux, et desquels découle habilement sa démonstration de l'existence de dieu. Logiquement liés à des propositions conditionnelles, ces axiomes deviennent vrais, mais, diminuent alors à néant la démonstration.

Liens externes

• Bibliographie des études sur l'argument ontologique de Gödel

Voir aussi

• Logique modale

Notes et références

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